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Il mwcqferromagnetismo è la proprietà di alcuni mwcgmateriali, detti mwcwmateriali ferromagnetici, di mwdamagnetizzarsi molto intensamente sotto l'azione di un mwdqcampo magnetico esterno e di restare a lungo magnetizzati quando il campo si annulla, diventando così mwdgmagneti. Questa proprietà si mantiene solo al di sotto di una certa mwdwtemperatura, detta mweatemperatura di Curie, al di sopra della quale il materiale si comporta come un materiale mweqparamagnetico. Per il mwegferro, ad esempio, questa temperatura è di circa 770mwew °C.

Nei materiali ferromagnetici la mwfqpermeabilità magnetica relativa del materiale non è costante al variare dei campi, come invece avviene nei mwfgmateriali diamagnetici e nei mwfwmateriali paramagnetici: la relazione tra il campo di induzione magnetica ed il campo magnetico non è quindi lineare, e nemmeno univoca.cite-ref-cir-1-0[1] Il metodo di trovare le relazioni tra questi vettori è un metodo grafico e la legge seguita dall'andamento del campo magnetico segue il mwhaciclo di isteresi. Sono materiali ferromagnetici il mwhqferro,cite-ref-2[2] il mwigcobalto, il mwiwnichel, numerosi mwjametalli di transizione e le loro rispettive leghe.

• Ciclo di isteresi

• Metodo di misura dei campi

• Legge di Curie-Weiss

• Modelli teorici

• Hamiltoniana di Heisenberg

• Modello di Weiss

• Note

• Bibliografia

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

I materiali ferromagnetici sono caratterizzati da un particolare andamento mwlq B = B ( H ) {\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {B} (\mathbf {H} )} del campo magnetico in funzione del vettore di induzione magnetica. La relazione che li lega è scalare in un materiale isotropo, dal momento che in tal caso i campi assumono la medesima direzione (ma non necessariamente lo stesso verso). La rappresentazione grafica di tale funzione è detta mwlgciclo di isteresi.cite-ref-cir-1-1[1]

A partire dal momento in cui i campi sono nulli, e dunque è nulla la magnetizzazione del materiale, il campo magnetico aumenta seguendo la curva mwna O H m {\displaystyle OH_{m}} , detta mwnqcurva di prima magnetizzazione, fino al valore massimo di mwng H m {\displaystyle H_{m}} in cui mwnw B {\displaystyle \mathbf {B} } aumenta proporzionalmente a mwoa μ μ 0 H {\displaystyle \mu _{0}\mathbf {H} } . In tali condizioni mwoq M {\displaystyle \mathbf {M} } raggiunge il suo valore massimo, detto mwogvalore di saturazione.

Diminuendo la corrente, diminuisce di conseguenza mwpa H {\displaystyle \mathbf {H} } , senza tuttavia ripercorrere la stessa curva, ma la curva mwpq H m B r {\displaystyle H_{m}B_{r}} . Per mwpg H = 0 {\displaystyle \mathbf {H} =0} risulta quindi che il campo magnetico non ritorna ad avere un valore nullo, ma acquista un'intensità pari a mwpw | B | = B r > 0 {\displaystyle |\mathbf {B} |=B_{r}>0} . Tale valore è detto mwqamagnetizzazione residua:

mwqw M r = B r μ μ 0 {\displaystyle M_{r}={\frac {B_{r}}{\mu _{0}}}}

Il materiale mantiene quindi una proprietà magnetica anche senza la presenza di un campo magnetico esterno.

Invertendo la corrente, inoltre, mwrg H {\displaystyle \mathbf {H} } e mwrw M {\displaystyle \mathbf {M} } diventano negativi, e quando il campo magnetico è nullo si ha mwsa | H | = − − H c {\displaystyle |\mathbf {H} |=-H_{c}} . Tale valore è detto mwsqcampo coercitivo.

Infine, diminuendo ulteriormente mwsw H {\displaystyle \mathbf {H} } , anche mwta B {\displaystyle \mathbf {B} } diventa negativo fino al valore mwtq − − H m {\displaystyle -H_{m}} in cui di nuovo i campi sono proporzionali e la magnetizzazione arriva al minimo assoluto. Ricominciando ad aumentare mwtg H {\displaystyle \mathbf {H} } , si ha il ciclo chiuso.

La permeabilità magnetica in un dato punto della curva:

mwug μ μ = | B | | H | {\displaystyle \mu ={\frac {|\mathbf {B} |}{|\mathbf {H} |}}}

è pertanto determinabile a partire dalla relazione fra i campi, specificando a quale curva del ciclo di isteresi appartiene. Tale grandezza dipende quindi dalla "storia" del materiale, e perde sostanzialmente di significato nella caratterizzazione del materiale. Ogni materiale ferromagnetico segue il ciclo di isteresi: per cicli che via via sono più stretti il ciclo di isteresi si restringe via via fino a ritornare a zero. Questo significa che è possibile "smagnetizzare" il materiale ferromagnetico e riportarlo alla condizione iniziale in cui mwva H = B = M = 0 {\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {B} =\mathbf {M} =0} .cite-ref-cir-1-2[1]

mwwwmwxamwxq mwxgmwxwmwyaMateriali ferromagnetici cristallini e corrispondenti mwygtemperature di Curie in mwywkelvincite-ref-3[3] mwaa mwaqMateriale mwagtemp. Curie (K) mwaw mwbamwbqCo mwbg1388 mwbw mwcamwcqFe mwcg1043 mwcw mwdamwdqFeOFe2O3mwea* mweq858 mweg mwewmwfaNiOmwfqFemwfg2Omwfw3mwga* mwgq858 mwgg mwgwmwhaCuOmwhqFemwhg2Omwhw3mwia* mwiq728 mwig mwiwmwjaMgOmwjqFemwjg2Omwjw3mwka* mwkq713 mwkg mwkwmwlaMnmwlqBi mwlg630 mwlw mwmamwmqNi mwmg627 mwmw mwnamwnqMnmwngSb mwnw587 mwoa mwoqmwogMnOmwowFemwpa2Omwpq3mwpg* mwpw573 mwqa mwqqmwqgY3Fe5O12mwrg* mwrw560 mwsa mwsqmwsgCrO2 mwta386 mwtq mwtgmwtwMnmwuaAs mwuq318 mwug mwuwmwvaGd mwvq292 mwvg mwvwmwwaDy mwwq88 mwwg mwwwmwxaEuO mwxq69

Il metodo descritto dal ciclo di isteresi è quello di misurare il campo di induzione magnetica mwyq B {\displaystyle \mathbf {B} } in funzione del campo magnetico mwyg H {\displaystyle \mathbf {H} } .cite-ref-magn-4-0[4] Si consideri un anello di materiale ferromagnetico di sezione mwzw A {\displaystyle A} e raggio mw0a R {\displaystyle R} costanti, avvolto da mw0q N {\displaystyle N} spire percorse da mw0gcorrente continua mw0w I {\displaystyle I} . In questa situazione i campi sono circolari entro l'anello e sono trascurabili al di fuori di esso. In questo modo si calcola il valore di mw1a H {\displaystyle \mathbf {H} } tramite il mw1qteorema di Ampere:cite-ref-cir332-5-0[5]

mw3a ∮ ∮ ∂ ∂ S H ⋅ ⋅ d l = N I {\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =N\ I}

e, poiché l'anello è assimilabile ad una circonferenza, l'integrale risulta:

mw4a H ⋅ ⋅ 2 π π R = N I {\displaystyle H\cdot 2\pi R=N\ I}

da cui:

mw5a H = N I 2 π π R {\displaystyle H={\frac {N\ I}{2\pi R}}}

Nota la mw5gpermeabilità magnetica relativa del materiale mw5w μ μ r {\displaystyle \mu _{r}} , è possibile calcolare il campo di induzione magnetica:

mw6g B = μ μ 0 μ μ r H = μ μ H {\displaystyle B=\mu _{0}\mu _{r}\ H=\mu \ H}

Questo sistema è quello che si usa in pratica per misurare i due campi, al variare dell'intensità di corrente, dal momento che:

mw7g H ⋅ ⋅ 2 π π R = N I {\displaystyle H\cdot 2\pi R=N\ I}

Una volta misurati mw8a H {\displaystyle \mathbf {H} } e mw8q B {\displaystyle \mathbf {B} } si può trovare il valore corrispondente di mw8g M {\displaystyle \mathbf {M} } :cite-ref-magn-4-1[4]

mw-q H = B − − μ μ 0 M μ μ 0 {\displaystyle \mathbf {H} ={\frac {\mathbf {B} -\mu _{0}\mathbf {M} }{\mu _{0}}}}

Attraverso tale procedura è possibile ricavare sperimentalmente la curva di magnetizzazione, ovvero l'andamento del campo magnetico in funzione del vettore di induzione magnetica, e dunque il ciclo di isteresi.

mw-gPierre Curie fu il primo a scoprire che esiste una mw-wtemperatura critica per ogni materiale ferromagnetico al di sopra della quale il materiale si comporta come mwaqaparamagnetico. La mwaqesuscettività magnetica segue la legge di Curie-mwaqiWeiss:

mwaqu χ χ m = C ρ ρ T − − T c {\displaystyle \chi _{m}={\frac {C\ \rho }{T-T_{c}}}}

dove mwaqc C {\displaystyle C} è una costante caratteristica del materiale, mwaqg ρ ρ {\displaystyle \rho } è la densità e mwaqk T c {\displaystyle T_{c}} la temperatura di Curie in mwaqokelvin.

Il ferromagnetismo rappresenta uno dei principali problemi aperti della mwaq0fisica dello stato solido, anche se esistono essenzialmente due mwaq4modelli teorici che riescono a descriverlo: il mwaq8modello di Ising e il modello di mwaraWeiss, basati entrambi sull'mwareHamiltoniana di Heisenberg, che tuttavia utilizzano grosse approssimazioni.

L'Hamiltoniana per una coppia di mwarqelettroni appartenenti ad atomi vicini è:

mwarc H = H 1 + H 2 + V 12 {\displaystyle H=H_{1}+H_{2}+V_{12}\ }

dove mwark H 1 {\displaystyle H_{1}} e mwaro H 2 {\displaystyle H_{2}} sono le hamiltoniane dei singoli elettroni, e mwars V 12 {\displaystyle V_{12}} l'interazione fra i due.

Per il mwar0Principio di Pauli, la mwar4funzione d'onda complessiva deve essere antisimmetrica, e quindi vi sono due possibilità:

mwase φ φ A = ψ ψ S ( r 1 , r 2 ) χ χ A ( σ σ 1 , σ σ 2 ) {\displaystyle \varphi _{A}=\psi _{S}(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})\chi _{A}(\mathbf {\sigma } _{1},\mathbf {\sigma } _{2})}

oppure

mwasu φ φ A = ψ ψ A ( r 1 , r 2 ) χ χ S ( σ σ 1 , σ σ 2 ) {\displaystyle \varphi _{A}=\psi _{A}(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})\chi _{S}(\mathbf {\sigma } _{1},\mathbf {\sigma } _{2})}

dove il pedice mwasc A {\displaystyle A} o mwasg S {\displaystyle S} sta ad indicare una funzione antisimmetrica/simmetrica, mwask ψ ψ {\displaystyle \psi } indica le funzioni d'onda spaziali e mwaso χ χ {\displaystyle \chi } indica le funzioni d'onda di mwassspin.

Le funzioni d'onda di spin per una coppia di elettroni sono:

mwas8 χ χ S : { | + + ⟩ ⟩ [ s z = 1 ] 1 2 ( | + − − ⟩ ⟩ + | − − + ⟩ ⟩ ) [ s z = 0 ] | − − − − ⟩ ⟩ [ s z = − − 1 ] {\displaystyle \chi _{S}:\left\{{\begin{matrix}|++\rangle \qquad [\mathbf {s} _{z}=1]\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+-\rangle +|-+\rangle )\quad [\mathbf {s} _{z}=0]\\|--\rangle \qquad [\mathbf {s} _{z}=-1]\\\end{matrix}}\right.}

mwate χ χ A : 1 2 ( | + − − ⟩ ⟩ − − | − − + ⟩ ⟩ ) [ s z = 0 ] {\displaystyle \chi _{A}:{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+-\rangle -|-+\rangle )\quad [\mathbf {s} _{z}=0]}

Le funzioni d'onda mwatmspaziali sono:

mwaty ψ ψ S : 1 2 ( ψ ψ 1 ( r 1 ) ψ ψ 2 ( r 2 ) + ψ ψ 1 ( r 2 ) ψ ψ 2 ( r 1 ) ) {\displaystyle \psi _{S}:{\frac {1}{\sqrt {2}}}(\psi _{1}(\mathbf {r} _{1})\psi _{2}(\mathbf {r} _{2})+\psi _{1}(\mathbf {r} _{2})\psi _{2}(\mathbf {r} _{1}))}

mwatg ψ ψ A : 1 2 ( ψ ψ 1 ( r 1 ) ψ ψ 2 ( r 2 ) − − ψ ψ 1 ( r 2 ) ψ ψ 2 ( r 1 ) ) {\displaystyle \psi _{A}:{\frac {1}{\sqrt {2}}}(\psi _{1}(\mathbf {r} _{1})\psi _{2}(\mathbf {r} _{2})-\psi _{1}(\mathbf {r} _{2})\psi _{2}(\mathbf {r} _{1}))}

Effettuando il mwatocalcolo perturbativo su queste funzioni d'onda si ottiene:

mwat0 E = { E 0 + J → → φ φ 1 = ψ ψ S χ χ A E 0 − − J → → φ φ 2 = ψ ψ A χ χ S {\displaystyle E=\left\{{\begin{matrix}E_{0}+J\quad \rightarrow \quad \varphi _{1}=\psi _{S}\chi _{A}\\E_{0}-J\quad \rightarrow \quad \varphi _{2}=\psi _{A}\chi _{S}\\\end{matrix}}\right.}

Dove mwat8 J {\displaystyle J} è l'integrale di scambio. L'hamiltoniana separa quindi gli stati con spin diverso, e per questo motivo mwauaWerner Karl Heisenberg trovò un operatore che distinguesse gli stati con spin diverso e che potesse quindi descrivere la precedente interazione. Tale operatore è:

mwaum s 1 ⋅ ⋅ s 2 = { − − 3 4 → → φ φ 1 1 4 → → φ φ 2 {\displaystyle \mathbf {s} _{1}\cdot \mathbf {s} _{2}=\left\{{\begin{matrix}-{\frac {3}{4}}\quad \rightarrow \varphi _{1}\\{\frac {1}{4}}\quad \rightarrow \varphi _{2}\\\end{matrix}}\right.}

Da cui l'Hamiltoniana di Heisenberg:

mwauc H H e i s e n b e r g = − − 2 J s 1 ⋅ ⋅ s 2 {\displaystyle H_{Heisenberg}=-2J\mathbf {s} _{1}\cdot \mathbf {s} _{2}}

Il modello di Weiss propone di generalizzare la hamiltoniana di Heisenberg per un sistema con più elettroni utilizzando una mwauoapprossimazione di campo medio: un elettrone risente di un'interazione dovuta alla media del campo generato dagli altri elettroni.

L'hamiltoniana del sistema diventa quindi:

mwau4 H m a g n = g 0 μ μ B s ( r ) ⋅ ⋅ B − − ∑ ∑ r ′ J ( r − − r ′ ) s ( r ) s ( r ′ ) = s ( r ) ⋅ ⋅ ⟨ ⟨ g 0 μ μ B B − − ∑ ∑ r ′ J ( r − − r ′ ) s ( r ′ ) ⟩ ⟩ = {\displaystyle H_{magn}=g_{0}\mu _{B}\mathbf {s} (\mathbf {r} )\cdot \mathbf {B} -\sum _{\mathbf {r} '}J(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathbf {s} (\mathbf {r} )\mathbf {s} (\mathbf {r} ')=s(\mathbf {r} )\cdot \langle g_{0}\mu _{B}\mathbf {B} -\sum _{\mathbf {r} '}J(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathbf {s} (\mathbf {r} ')\rangle =}

mwava = s ( r ) g 0 μ μ B ( B − − 1 g 0 μ μ B ∑ ∑ r ′ J ( r − − r ′ ) ⟨ ⟨ s ( r ′ ) ⟩ ⟩ ) {\displaystyle =s(\mathbf {r} )g_{0}\mu _{B}\left(\mathbf {B} -{\frac {1}{g_{0}\mu _{B}}}\sum _{\mathbf {r} '}J(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathbf {\langle } s(\mathbf {r} ')\rangle \right)}

dove si è posto mwavi g 0 , μ μ B {\displaystyle g_{0},\mu _{B}} rispettivamente il mwavmfattore giromagnetico e il mwavqmagnetone di Bohr.

Sostituendo il mwavymomento magnetico:

mwavk m = − − g 0 μ μ B s {\displaystyle \mathbf {m} =-g_{0}\mu _{B}\mathbf {s} }

ed il vettore magnetizzazione:

mwav0 M = N V ⟨ ⟨ m ⟩ ⟩ {\displaystyle \mathbf {M} ={\frac {N}{V}}\langle \mathbf {m} \rangle }

si ha:

mwawe H m a g n = − − m ( r ) ( B + ∑ ∑ r ′ J ( r − − r ′ ) ( g 0 μ μ B ) 2 V N M ) {\displaystyle H_{magn}=-\mathbf {m} (\mathbf {r} )\left(\mathbf {B} +\sum _{\mathbf {r} '}{\frac {J(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{(g_{0}\mu _{B})^{2}}}{\frac {V}{N}}\mathbf {M} \right)}

Quindi, in definitiva:

mwawu H m a g n = − − m ( r ) ( B + λ λ M ) {\displaystyle H_{magn}=-\mathbf {m} (\mathbf {r} )(\mathbf {B} +\lambda \mathbf {M} )}

Si nota l'analogia con il mwawcparamagnetismo di Langevin, in cui si fa lo stesso studio a patto di sostituire il campo magnetico con un campo magnetico efficace dato da:

mwawo B + λ λ M {\displaystyle \mathbf {B} +\lambda \mathbf {M} }

Esiste quindi una temperatura critica di Curie:

mwaw4 T C = J 0 s ( s + 1 ) 3 k {\displaystyle T_{C}={\frac {J_{0}s(s+1)}{3k}}}

al di sotto della quale si manifestano gli effetti del ferromagnetismo. Le quantità mwaxa s {\displaystyle s} e mwaxe k {\displaystyle k} sono l'autovalore dello spin e la mwaxicostante di Boltzmann, mentre mwaxm J 0 {\displaystyle J_{0}} è dato da:

mwaxy ∑ ∑ r ′ J ( r − − r ′ ) ( g 0 μ μ B ) 2 {\displaystyle \sum _{\mathbf {r} '}{\frac {J(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{(g_{0}\mu _{B})^{2}}}}

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